2013年8月3日土曜日

数の世界の広がり(二乗と平方根)

加算(addition)を何度も繰り返す(repeat, do over again, reiterate)ことを簡略(simple, simplify, brief)することで、乗算(be born; come into being, see the light, be a result)が生まれました。

2 + 2 = 4
2 * 2 = 4

2 + 2 + 2 = 6
2 * 3 = 6

2 + 2 + 2 + 2 = 8
2 * 4 = 8

[雑談(idle talk, small talk)]
群論(group theory)に出て来る環(ring)の定義(definition)では、
加算も乗算もその意味を失い(lose a meaning)
互いの相対関係(relative relation)のみにまで抽象化(abstraction)されています。

乗算は、面積(area, square measure)を数える方法(a method; a way)に利用されます(be used)

[雑談]面積とは、縦(height length)と横(width)の組み合わせひの数字(二次元(two dimensions))から広さ(area, extent)という一次元(one dimensional)の数値への写像(mapping)

長方形(rectangle, oblong)の面積は、縦 × 横 で求まります(obtained by, got by)

[雑談]面積が解り、縦が分かれば、横は除算(division)計算で求められる。

横 = 面積 / 縦

正方形(square)なら、縦と横が等しい。

正方形の面積から、二乗(square, multiply a number by itself)の計算(calculation; computation)が始まります。

二乗のことを自乗ともいいます。

正方形の面積 = { 一辺 } ^ 2

正方形の面積が解っている時、辺の長さはいくつになるかという問題(a problem; a question)

そこから、平方根(the square root)を求めることが必要になるはず。


sqrt 4 = 2

[雑談]この問題が現実に(actually)発生する(accrue; arise; germinate; occur; proceed)ことは少ない(rare)なあ、もっと平方根の必要性(necessity)を実感(realize)したい。

ピタゴラスの定理(Pythagoras' theorem, Pythagorean theorem) 直角三角形(a right triangle, a right‐angled triangle)の二辺の長さ(length)をa,b, 斜辺(a hypotenuse, an oblique side)の長さをcとすると
a^2 + b^2 = c^2
この式でa,bからcを求めるとき
c= sqrt{a^2 + b^2 }
このように、平方根の計算が必要になります。

例えば、家(a house)を設計する(architect; configure; contrive; design; draft)時、
屋根(a roof)が斜めになっている(sloping, oblique, incline)から、
屋根の斜辺の長さを求めておかないと
材料(materials; stuff)を無駄にしてしまいます(to render futile; to bring to naught; to waste)


実際に平方根を計算するには、色々な方法があります。
最も能率がいい(efficient)方法もあります。

現代で最も簡単な方法は、電卓に計算させること。

電卓の中では、昔の知恵者が編み出した方法で
計算がされています。
その方法はいずれ紹介するとして、先に進みましょう。

平方根は二乗すると元の数になります。

負の数(negative number)を知っている人は、負の数を二乗すると正の数(positive number)になることも知っています。

-1 ^ 2 = 1, -2 ^ 2 = 4

だから、平方根の計算では、負の数側の答えも忘れてはいけない、と考えるほうが好ましい。

したがって、ルールとして 平方根の根号(a radical sign)の記号は、正の数を意味することにして、
負の数側の答えの前には、マイナス符号をつけることにしました。

x ^ 2 = 2  ~ doubleleftright ~  x = sqrt{2} ~or~ x = - sqrt{2} ~ doubleleftright ~ x = pm sqrt{2}
sqrt{2} が、有理数(a rational number)ではない数、つまり無理数(an irrational number, a surd number)であることは、有名な(famous; notable)話です。しかし、建築(architecture,  building, construction)や工業(an industry)など科学(science)技術(technology)でも、銀行(a bank)のお金(money)の計算でも、実際は有理数までしか計算で扱い(handle, operate)ません、無理数は必要な程度まで精度良く(accurately;precise)近い小数値(fractional value)=つまり有理数で近似して(approximate)利用しています。

[雑談]有理数は、整数(an integer)と整数を組み合わせた分数(a fraction)で表される数、小数は整数の分数にできるから有理数、無理数は有理数にて表せられない(can't be put into, show, display, indicate)数。

[雑談]「無理数は有理数にて表せられない数」とは、随分と雑な(careless)分類(classification, grouping)です。いずれ詳しく(particularly; in detail; fully; minutely; at length)調べたいと思います。

二次方程式(a quadratic equation)
a x ^ 2 + b x + c = 0

なるものを解く(solve)必要があるのは、先ほどの建築などの形状(shape; form)の設計でのピタゴラスの定理の応用(application)だけでなく、物理学(physics)の力学(dynamics, mechanics)における地表付近(near a ground)の物体(an object, a material body)の等加速度運動(uniformly accelerated motion)の計算に用います。

二次方程式の解の公式(a formula)
x = {-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}/{2a}
を、見ていると、
根号の中が負の数になる場合がありそうだと
誰でも気が付きます(to notice; to become aware; to perceive; to realize; to realize)

次回は、虚数(an imaginary number)・複素数(a complex number)







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