2014年2月15日土曜日

4次方程式・オイラーの解法

4次方程式
ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 (a <> 0) ...(1)
で、
x = y - b / {4a} ...(2)
とおいて
y^4 + p y ^2 + q y + r = 0 ... (3)
という方程式に変形できる。
ただし、
p = { 8 a c - 3  b ^ 2 } / { 8 a ^ 2} ...(4)
q = { 16 a ^ 2 d - 8 a b c + 2 b ^ 3 } / { 16 a ^ 3} ... (5)
r = { 256 a ^ 3 e - 64 a ^ 2 b d + 16 a b ^ 2 c - 3 b ^ 4 } / { 256 a ^ 4} ...(6)
である。
この、係数、 p, q, r から作られる三次方程式
t ^ 3 + {p / 2} t ^ 2 + ( { p ^ 2 / 16 } - { r / 4} ) t - { q ^ 2 / 64 } = 0 ... (7)
の三根を t_1 , t_2 , t_3  とする。
三次方程式の解法は、こちらこちらを参考。

t_1 , t_2 , t_3のそれぞれの二つ在る平方根の中から一つずつを取り出し
合わせて3個の平方根の積が、

- {q/8} ...(8)
となる物を、平方根記号で、

sqrt { t_1 } , sqrt { t_2 } , sqrt { t_3 } ... (9)
とする。
つまり、
sqrt { t_1 } sqrt { t_2 } sqrt { t_3 } = - { q / 8} ...(10)
である。

(8)を満たす平方根が存在することは、三次方程式(7)の解と係数の関係から、
最後の定数項について
- { q ^ 2 / 64} = - t_1 t_2 t_3 ...(11)
であることから解る。
とすると、
4次方程式
ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 (a <> 0) ...(1)
の根は、
delim { lbrace } { matrix {4} {1} {{ x_1 = - b/{4a} + sqrt { t_1 } + sqrt { t_2 } + sqrt { t_3 }, } { x_2 = - b/{4a} + sqrt { t_1 } - sqrt { t_2 } - sqrt { t_3 }, } { x_3 = - b/{4a} - sqrt { t_1 } + sqrt { t_2 } - sqrt { t_3 }, } { x_4 = - b/{4a} - sqrt { t_1 } - sqrt { t_2 } + sqrt { t_3 }, }} } { } ... (12)
となる。

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