根号の仮面整数

 ...(1)
 ... (2)
 ...(3)
 ... (4)
である。

3次方程式
 ... (5)
は、因数分解で
 ...(6)
となり、
解
 ...(7)
を持つ。
また、3次方程式の解の公式から、

 ... (8)
 ... (9)
が、解である。
ここで解を見比べることで、(1),(2),(3),(4)が解る。

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もう少し、一般化してみよう。
3次方程式
 ... (10)
から始める。
(10)り左辺を展開していく。
 ...(11)
 ...(12)
 ...(13)
ここで二次の項は係数が0でなければ (5)の形にならない。
したがって、
 ...(14)
とする。
(14)で(10)を書き直すと、
 ...(15)
また、(14)で(13)を書き直すと、
 ...(16)
である。
ここで、3次方程式
 ...(17)
の解法に添って、(16)を解くと、まず、
 ...(18)

 ... (19)
てあり、
 ...(20)
 ...(21)
である。
(20)の両辺は整数にしたいので、f は 3の倍数となる。

また、いい遅れたが、(10) で、f は、虚数単位 i の係数であり、
(10)の左辺の右二項でできる二次方程式の解の判別式が
負の平方数であり、根号がとれることを意味しているので、
f は、自然数(正の整数)である。
つまり、

 ...(22)

 ...(23)
 ...(24)
さらに、3次方程式の解法から
 ...(24)
は、自動で整数となる。
で、
 ...(25)
 ...(26)
ここで(10)の実数解(整数解)の式(14)が、3次方程式の根の式で求まる、それは、

であり、右辺の根号がはずれて整数になることを意味している。
ただし、 e は整数、 g は自然数 ただし、平方根号の中が負にならないようにすること。