2014年3月9日日曜日

三次方程式の根と補助方程式の関係を探る

「ガロアの理論」矢ヶ部 巌 著では

18世紀の数学者ラグランジュの1770年の論文
「方程式の代数的解法についての省察」
の解説が出ている。

3次方程式の根と補助方程式の関係を探ることであり、
補助方程式が6次方程式となる理由を説明している。

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3次方程式
a x ^ 3 + b x ^ 2 + c x + d = 0 ~ (a <> 0 ) ...(1)
をカルダノの方法で解けるのだが、それによると(雑だが)
補助方程式
t ^ 6 + q t ^ 3 - p ^ 3 / 27 = ~ 0 ~... (2)
のニ根で、その積が
- p / 3 ~...(3)
となるものを
u_0, ~ v_0 ...(4)
とすると、
delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{ x_1 = - b / {3 a} + u_0 + v_0 } { x_2 = - b / {3 a} + u_0 omega + v_0 omega ^ 2 } { x_3 = - b / {3 a} + u_0 omega ^ 2 + v_0 omega  }} }{} ...(5),(6),(7)
である。ただし、
omega ^ 3 ~=~ 1 ...(8)
であり、
omega ^ 2 + omega + 1 ~=~ 1 ...(9)
である。

ところで、u_0, ~ v_0 をx_1, ~ x_2, ~ x_3 で表してみよう。
まず、(5),(6),(7)にomegaを作用させてv_0の係数を消すと
delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{ x_1 = - b / {3 a} + u_0 + v_0 } { omega x_2 = - b / {3 a} omega + u_0 omega ^ 2 + v_0 } { omega ^ 2 x_3 = - b / {3 a} omega ^ 2 + u_0 omega + v_0 }} }{} ...(10),(11),(12)
となる。(10),(11),(12)の両辺を加えて、(9)を使うと
v_0 ~=~ 1 / 3 ( x_1 + omega x_2 + omega ^ 2 x_3 )...(13)
を得る。同様に(5),(6),(7)にomegaを作用させてu_0の係数を消して得られるのは、
u_0 ~=~ 1 / 3 ( x_1 + omega ^ 2 x_2 + omega x_3 ) ...(14)
(2)は、6次方程式だから、v_0u_0以外の残り4個の根は、
omega v_0omega ^ 2 v_0omega u_0omega ^ 2 u_0  ...(15)
となる。詳しく書くと、
omega v_0 ~=~ 1 / 3 ( omega x_1 + omega ^ 2 x_2 + x_3 ) ...(16)
omega ^ 2 v_0 ~=~ 1 / 3 ( omega ^ 2 x_1 + x_2 + omega x_3 ) ...(17)
omega u_0 ~=~ 1 / 3 ( omega  x_1 + x_2 + omega ^ 2 x_3 ) ...(18)
omega ^ 2 u_0 ~=~ 1 / 3 ( omega ^ 2  x_1 + omega  x_2 +  x_3 ) ...(19)
(13),(14),(16),(17),(18)を見比べると
x_1, ~ x_2, ~ x_3に対して、1, ~ omega, omega ^ 2 の3個を並べ替えて係数としている
と考えることができるし、
反対に、1, ~ omega, omega ^ 2 に対して、x_1, ~ x_2, ~ x_3 の3個を並べ替えて係数としている
とも、考えることができる。
3個の物を並べ替える方法は何通り在るか。
3 ! ~=~ 6
である。


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